공돌이의 공학공부

크래머 공식 (Crammer's Rule) 크라메르의 법칙, 크라메르의 공식이라고도 불리는 크래머 공식은 스위스 수학자 가브리엘 크라메르에 의해 1700년대에 만들어진 공식입니다. 크래머 공식은 적은 미지수의 연립 방정식을 해결하기에 좋은 해법이 될 수 있으나 미지수가 늘어나게 되면 계산하는데 시간이 오래 걸려 비효율적입니다. 1. 크래머 공식 계산 방법 크래머 공식을 사용하기 위해서 우선 행렬식(Determinant)를 계산하여야합니다. 행렬식은 아래와 같은 행렬이 존재할 때, $$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatri..

테일러 급수란테일러 급수(Taylor Series)는 영국의 수학자인 브룩 테일러(Brook Taylor)가 고안한 수학적 기법으로 미분할 수 있는 함수(smooth function)를 다항식으로 근사화하는 방법입니다. 대표적인 예로 \(e^{x} , sinx, cosx \) 등을 다항식으로 표현할 수 있습니다. 그렇기 때문에 삼각함수, 자연함수 등으로 이루어진 복잡한 함수를 계산하거나 미적분 계산이 어려운 문제를 해결할 때 유용한 방법이라고 할 수 있습니다. 테일러 급수는 아래의 식과 같이 무한급수로 전개되기 때문에 보통 적당한 항에서 값을 근사시켜 사용합니다. $$ f(x_{i+1}) = f(x_{i}) + f^{'}(x_{i})(x_{i+1}-x_{i}) + \frac{f^{''}(x_{i})}{2..

Newton-Rapshon Method Newton-Raphson Method는 아이작 뉴턴(Isaac Newton)과 조셉 랩슨(Joseph Raphson)의 이름을 따서 명명된 기법으로 방정식의 해를 구하는 방법으로 널리 사용되고 있습니다. Newton-Raphson Method는 방정식의 해를 구할 때 더 정확한 근사치를 계속해서 찾아나가는 알고리즘입니다. 1. Newton-Raphson Method 유도 Newton-Rapshon Method는 근에 대한 초기 값은 알 수 없기 때문에 적당한 값을 가정하여 사용합니다. 본 식에서는 Newton-Raphson Method를 유도하기 위해 초기 가정값을 \( x_{i} \)로 설정하였습니다. 이때 [ \( x_{i}, f(x_{i}) \) ]의 접선을..